Một nửa của √2, đồng thời cũng là nghịch đảo của √2, xấp xỉ bằng 0.707106781186548, là một giá trị thường gặp trong hình học và lượng giác vì vectơ đơn vị tạo góc 45° với các trục thì có tọa độ

( 2 2 , 2 2 ) . {\displaystyle \left({\frac {\sqrt {2}}{2}},{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right).}

Số này thỏa mãn

2 2 = 1 2 = 1 2 = cos ⁡ 45 ∘ = sin ⁡ 45 ∘ . {\displaystyle {\tfrac {\sqrt {2}}{2}}={\sqrt {\tfrac {1}{2}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}=\cos 45^{\circ }=\sin 45^{\circ }.}

Một giá trị có liên quan là tỷ lệ bạc. Hai số dương a, b có tỷ lệ bạc δS nếu

2 a + b a = a b = δ S {\displaystyle \!{\frac {2a+b}{a}}={\frac {a}{b}}=\delta _{S}} .

Bằng cách biến đổi về phương trình bậc hai, ta có thể giải được δS = 1 + √2.

√2 có thể được biểu diễn theo đơn vị ảo i chỉ sử dụng căn bậc hai và các phép toán số học:

i + i i i  and  − i − i − i − i {\displaystyle {\frac {{\sqrt {i}}+i{\sqrt {i}}}{i}}{\text{ and }}{\frac {{\sqrt {-i}}-i{\sqrt {-i}}}{-i}}}

nếu ký hiệu căn bậc hai được định nghĩa hợp lý cho số phức i và −i.

√2 cũng là số thực duy nhất khác 1 mà túc thừa vô hạn lần bằng với bình phương của nó. Một cách phát biểu chặt chẽ như sau: nếu với số thực c > 1 ta định nghĩa x1 = c và xn+1 = cxn với n > 1, thì giới hạn của xn khi n → ∞ (nếu tồn tại) gọi là f(c). Khi ấy √2 là số c > 1 duy nhất thỏa f(c) = c2. Hay nói cách khác:

2 ( 2 ( 2 (   ⋅ ⋅ ⋅ ) ) ) = 2. {\displaystyle {\sqrt {2}}^{({\sqrt {2}}^{({\sqrt {2}}^{(\ \cdot ^{\cdot ^{\cdot })))}}}}=2.}

√2 cũng xuất hiện trong công thức Viète cho π:

2 m 2 − 2 + 2 + ⋯ + 2 → π  khi  m → ∞ {\displaystyle 2^{m}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots +{\sqrt {2}}}}}}}}\to \pi {\text{ khi }}m\to \infty }

với m dấu căn và đúng một dấu trừ.[17]

Ngoài ra, √2 còn xuất hiện trong nhiều hằng số lượng giác:[18]

sin ⁡ π 32 = 1 2 2 − 2 + 2 + 2 sin ⁡ 3 π 16 = 1 2 2 − 2 − 2 sin ⁡ 11 π 32 = 1 2 2 + 2 − 2 − 2 sin ⁡ π 16 = 1 2 2 − 2 + 2 sin ⁡ 7 π 32 = 1 2 2 − 2 − 2 + 2 sin ⁡ 3 π 8 = 1 2 2 + 2 sin ⁡ 3 π 32 = 1 2 2 − 2 + 2 − 2 sin ⁡ π 4 = 1 2 2 sin ⁡ 13 π 32 = 1 2 2 + 2 + 2 − 2 sin ⁡ π 8 = 1 2 2 − 2 sin ⁡ 9 π 32 = 1 2 2 + 2 − 2 + 2 sin ⁡ 7 π 16 = 1 2 2 + 2 + 2 sin ⁡ 5 π 32 = 1 2 2 − 2 − 2 − 2 sin ⁡ 5 π 16 = 1 2 2 + 2 − 2 sin ⁡ 15 π 32 = 1 2 2 + 2 + 2 + 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\sin {\frac {\pi }{32}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}}&\quad \sin {\frac {3\pi }{16}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}}&\quad \sin {\frac {11\pi }{32}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2-{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}}}}\\[6pt]\sin {\frac {\pi }{16}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}&\quad \sin {\frac {7\pi }{32}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}}&\quad \sin {\frac {3\pi }{8}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\\[6pt]\sin {\frac {3\pi }{32}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}}}}&\quad \sin {\frac {\pi }{4}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}&\quad \sin {\frac {13\pi }{32}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}}}}\\[6pt]\sin {\frac {\pi }{8}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}&\quad \sin {\frac {9\pi }{32}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}}&\quad \sin {\frac {7\pi }{16}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}\\[6pt]\sin {\frac {5\pi }{32}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2-{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}}}}&\quad \sin {\frac {5\pi }{16}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}}&\quad \sin {\frac {15\pi }{32}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}}\end{aligned}}}

Hiện vẫn chưa biết liệu √2 có phải là số chuẩn, một tính chất mạnh hơn tính vô tỉ, nhưng phân tích thống kê biểu diễn của nó trong hệ nhị phân cho thấy có khả năng nó chuẩn trong hệ cơ số hai.[19]